teorema fundamental de propocionalidad

Teoremas de Proporcionalidad

El concepto de proporcionalidad es equivalente al de semejanza cuando se comparan dos triángulos semejantes. De hecho las propiedades de la proporcionalidad (reflexividad, simetría y transitividad) son las mismas que las de la semejanza.
9.6: Teorema fundamental de la proporcionalidad:

Si una recta paralela a un lado de un triangulo interseca a los otros dos lados, entonces divide a éstos proporcionalmente. Y su recíproca establecido en el teorema 9.7: si una recta interseca a dos lados de un triangulo y los divide proporcionalmente, entonces la recta es paralela al tercer lado.
Media geométrica: parte esencial de la proporcionalidad y de la semejanza de triángulos.
Sólo es relevante la media geométrica si todos los números son positivos. Si uno de ellos es 0, entonces el resultado es 0. Si hay un número negativo (o una cantidad impar de ellos) entonces la media geométrica es, o bien negativa o bien inexistente en los números reales

Teorema 9.10: En un triangulo rectángulo, la longitud de la altura a la hipotenusa es la media geométrica entre las longitudes de los dos segmentos de la hipotenusa.
Teorema 9.11: Dados un triangulo rectángulo y la altura de la hipotenusa, cada cateto es la media geométrica entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del segmento de la hipotenusa adyacente al cateto.

teorema 9.6

si una recta paralela a un lado de un triangulo interseca a los otros dos lados,entoce divide los a estos proporcionalmente.                                                       

teorema 9.7

si una recta interseca a dos lados de un triangulo a los divide proporcionalmente,entonce la recta es paralela al tercer la do.

 

Teorema fundamental de la proporcionalidad

Si una recta paralela al lado BC del triángulo ABC corta  en B′ a AB y en C′ a AC), entonces

ABAB′=ACAC′=BCB′C′

Este es el Teorema de Tales para triángulos del cual hemos hablado ya en MaTeTaM. En esta oportunidad comentaré el teorema particularizado para triángulos rectángulos y lo demostraré con el método de áreas.

Tales para triángulo rectángulo

Para demostrar el teorema de Tales (el que está en la base del razonamiento proporcional más básico) se puede utilizar el método de áreas. Ya en otra ocasión hemos presentado este método, pero puede que este post redundante sea de alguna utilidad para los novicios en matemáticas de concurso --dado que presenta al mismo tiempo la lógica del método de áreas con un problema elemental.
Presentaré primero un problema de ENLACE 2008

Dos cuadrados de lados 3 y 6 se yuxtaponen formando un escalón. Se traza el segmento que une la esquina inferior izquierda del cuadrado menor con la esquina superior derecha del cuadrado mayor como se muestra en la figura. Calcular el área del triángulo sombreado.

Solución
Razonando proporcionalmente es fácil ver que la altura h del triángulo sombreado es de 2 unidades (3/9=h/6). De aquí que el área buscada sea de 3 unidades cuadradas.
(En otras palabras, el razonamiento proporcional sería así: si en 9 sube 6 entonces en 3 sube 2 (pues cada 3 sube 2). Elemental ¿no es cierto? Pues sí pero...)
Según creo, es dudoso que el razonamiento proporcional sea tan natural como se cree. Lo dudo porque en una sesión de entrenamiento en resolución de problemas, uno de mis alumnos "resolvió" el problema diciendo que la altura es 3 ("porque la linea inclinada pasa por la mitad") y por tanto la respuesta es 4.5 unidades cuadradas.  Y cuando la interrogué sobre cómo sabía que pasaba por la mitad de dijo: "ese problema lo resolvió el profe en el pizarrón y así le hizo". (Ese dato adicional explicaba la seguridad con que mi alumna procedió.)

Para evitar el razonamiento proporcional el problema se puede resolver calculando el área del triángulo grande de dos formas: con la fórmula directa y como la suma de las áreas del triángulo sombreado y el trapecio. De esta manera (y considerando el doble de las áreas) se tendría la ecuación 

9⋅6=3h+(h+6)6

Y se obtiene h=2. De ahí el resultado.

Este problema de ENLACE se puede considerar una variante del que resolvió Tales de Mileto. Según la leyenda, Tales calculó la altura de la pirámide de Keops sin realmente medirla. Y se puede conjeturar que calculó la altura de la pirámide gracias a un teorema que ya había demostrado en su laboratorio hogareño.

Particularización al triángulo rectángulo

Una recta paralela al cateto BC del triángulo ABC rectángulo en B corta a la hipotenusa en D y al otro cateto en E. Demostrar que

ABAE=BCDE

Demostración (por el método de áreas)

Vamos a calcular el área del triángulo ABC de dos formas (lo cual establecerá una ecuación). El doble del área de ABC es AB⋅BC. Pero también es igual a la suma de las áreas (duplicadas) del triángulo AED y el trapecio BCDE. Por tanto

AB⋅BC=AE⋅ED+(DE+BC)⋅EB

(AB−EB)⋅BC=(AE+EB)⋅ED

Y se tiene el resultado que usó Tales para medir indirectamente la altura de la pirámide:

ABAE=BCED

 

Teorema Fundamental Proporcional Se Divide 

En Teoremas

PD: Hay varias versiones sobre cómo calculó Tales la altura. Una de ellas dice que Tales se paró en el punto E de tal manera que su sombra AE terminaba exactamente en A, justamente donde terminaba la sombra AB de la pirámide BC. Y aplicó el teorema. (Queda la duda operativa de cómo le hizo para medir la sombra desde A al centro B de la pirámide. Pero bueno, en principio, el problema quedaba resuelto --la medida de su sombra y de su altura son factibles de lograr con cinta.)
PD1: Otra versión de la leyenda cuenta que Tales esperó a que su sombra fuese igual a su altura y, de acuerdo a su teorema, la altura de la pirámide mediría lo mismo que su sombra. Mucho más fácil. Pero de cualquier manera queda la incógnita de cómo midió la longitud de la sombra de la pirámide.
PD2: Una buena actividad didáctica en la línea de las reformas educativas es poner a los alumnos a calcular (con Tales) la altura de la torre X de la localidad y subir a Youtube un video de las acciones que realizaron. (Se van a tardar posiblemente una semana pero...)
PD3: Un conocimiento se convierte en natural (para tí) cuando ya lo has aplicado muchas veces. Antes de esas múltiples prácticas es totalmente alienígena.


Teorema fundamental proporcional se divide en teoremas
Primer teorema:
• El primero de ellos explica esencialmente una forma de construir un triángulo semejante a unopreviamente existente (los triángulos semejantes son los que tienen iguales ángulos).
• Mientras que el segundo desentraña una propiedad esencial de los circuncentros de todos los triángulos rectángulos(encontrandose éstos en el punto medio de su hipotenusa), que a su vez en la construcción geométrica es ampliamente utilizado para imponer condiciones de construcción de ángulos rectos.
Primerteorema
Una aplicación del Teorema de Tales.
Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y suslados son proporcionales entre si. El primer teorema de Tales recoge uno de los resultados más básicos de la geometría, a saber, que:

Según parece, Tales descubrió el teorema mientras investigabala condición de paralelismo entre dos rectas. De hecho, el primer teorema de Tales puede enunciarse como que la igualdad de los cocientes de los lados de dos triángulos no es condición suficiente deparalelismo. Sin embargo, la principal aplicación del teorema, y la razón de su fama, se deriva del establecimiento de la condición de semejanza de triángulos, a raíz de la cual se obtiene elsiguiente corolario.
Corolario
Del establecimiento de la existencia de una relación de semejanza entre ambos triángulos se deduce la necesaria proporcionalidad entre sus lados. Ello significa que la razónentre la longitud de dos de ellos en un triángulo se mantiene constante en el otro.
Por ejemplo, en la figura se observan dos triángulos que, en virtud del teorema de Tales, son semejantes. Entonces,del mismo se deduce a modo de corolario que el cociente entre los lados A y B del triángulo pequeño es el mismo que el cociente entre los lados D y C en el triángulo grande

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